本文目录一览：

三角形夹角的讲解

你可以上网找PPT教学幻灯片来看，比我在这里打字要强得多

PPT下载地址：

直接讲：1、锐角三角函数定义

锐角角A的正弦,余弦和正切,余切都叫做角A的锐角三角函数

正弦等于对边比斜边

正切等于对边比邻边

2、互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

3、同角三角函数间的关系

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanα·cosα

cosα=cotα·sinα

tanα=sinα·secα

cotα=cosα·cscα

secα=tanα·cscα

cscα=secα·cotα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

4、三角函数值

（1）特殊角三角函数值

（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（3）锐角三角函数值的变化情况

（i）锐角三角函数值都是正值

（ii）当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，

0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

当角度在0°α90°间变化时，

tanα0, cotα0.

“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。

本章内容与已学 “相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。

一、教科书内容与课程学习目标

（一）本章知识结构框图

本章知识的展开顺序

（二）教科书内容

本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。

找 韦达定理及其应用

韦达定理及其应用

......：奥数 年级：初三

不分版本 期数：346

本周教学内容：韦达定理及其应用 【内容综述】有二实数根韦达定理的应用，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】1．求代数式的值 ★★例1 若a，b为实数，且，求的值。 思路 注意a，b为方程）。 解 （1）当a=b时，； （2）当a，b分别是方程 ， ab=1. 说明 此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。a，b值进而求所求多项式值，但计算量较大。2 若，且，试求代数式的值。 思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程 ，韦达定理应用 ∴ 2．构造一元二次方程 ★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以为根的一元二次方程； （2）若

......

判别式韦达定理

......（2）当b2-4ac＝0时韦达定理，＿＿＿＿＿

（3）当b2-4ac＜0时，＿＿＿＿＿

3、设x1、x2是方程ax2+bx+x=0(a≠0)的两个根，则x1＋x2 ＝ ＿＿＿＿

x1x2=______＿＿＿_ x12+x22=_＿________|x1－x2|＝＿＿＿＿＿

4、以x1、x2为根的一元二次方程是＿＿＿＿＿

三、基础训练

1、一元二次方程x2-2x+2=0的判别式△＝＿＿＿

2、方程x2-4x+m=0的判别式△＝＿＿＿＿，当m ＿＿＿＿＿时，方程有两不等的实数根，当m＿＿＿＿时，方程有两个相等的实数根，当m＿＿＿＿时，方程没有实根。

3、方程2x2-8x+3=的两根之和是＿＿＿＿，两根之积是＿＿＿＿＿

4、若方程5x2+bx-10＝0的一个根是5，则另一个根是＿＿，b＝＿＿

5、方程x2+px+q=0的两个根是－1和3，则p=___ p=____

6、两根分别为－1和5的一元二次方程为＿＿＿＿＿

7、α、β是方程y2-3x-1=0的两根，韦达定理公式则α2＋β2＝＿＿ ＋ ＝＿＿

（α－β）2＝＿＿＿＿

8、方程2x2+mx+(2m-1)=0的两

......

韦达.doc

......韦 达

韦达（1540—1603年）韦达定律，法国数学家，年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码．韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步．韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）．韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”． 1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》．这是欧洲第一本使用六种三角函数的系统的平面、球面三角学．主要著作有《分析方法入门》（1591）、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》等．由于韦达做出了许多重要贡献，韦达公式成为十六世纪法国最杰出的数学家。

......

二动量定理.ppt

......节 动量定理 制作：陈平龙 单位：巢湖四中 * 教学目标 1、理解动量定理的确切含义和表达式；知道动量定理适用于变力； 2、会用动量定理解释一些现象和处理有关问题； 二、动量定理 重、难点 动量定理的含义及应用； 复习、提问： 1.什么叫冲量？大小、方向、单位怎样？ 2.什么叫动量？大小、方向、单位怎样？ 3.什么叫动量变化？大小、方向、单位 怎样？ 引入新课 继续 新课教学 （一）、动量定理 1、推导及内容： 2、动量定理理解要点： （1）、动量定理公式I合=⊿P是一矢量式动量定理ppt，它不仅反映了物体所受合外力的冲量与物体的动量变化间的大小关系，而且也反映了它们间的方向关系； （2）、动量定理不仅适用于恒力，也适用于变力。[ 对于变力的情况，动量定理中的(F)应理解为变力在作用时间内的平均值〕； （3）、动量定理中的I合=F合·t为合外力的冲量，⊿P为物体的动量变化； （4）、动量定理是根据F合=m·a=m(v’-v)/t F合=(P’-P)/t 即： F合=⊿P/t 这就是牛顿第二定律的另一种表达形式，动量定理即：作用在物体上的合外力等于物体的动量变化率。 (二）、动量定理的应用： 1、动量定理可定性解释一些现象： 如： （1)、鸡蛋

......

余弦定理及其应用1课时课件2

......想一想： 1. 请叙述正弦定理的内容 。 答：(1)已知两角和任一边余弦定理课件， 2.正弦定理可以解决哪几类有关三角形的问题？ 求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角， 求出其他的边和角 C B A a b c △ABC中，若∠C是直角， 则有c2＝a2＋b2 A/ A// 如图：ΔABC中，AB，BC，CA的长分别为c，a，b ∵ AC=AB+BC =c2－2ac cosB+a2 ∴ AC AC=（AB+BC） （AB+BC） 即：b2=c2－2ac cosB+a2 同理可证：a2=b2+c2－2bc cosA c2=a2+b2－2ab cosC B A C =AB2+2AB BC +BC2 =AB2+2AB BC cos（180o－B）+BC2 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 即：a2=b2+c2－2bc cosA b2=a2+c2－2ac cosB c2=a2+b2－2ab cosC 注意：1、熟悉定理的形式结构特点，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2、每个等式中包含四个量，它们分别是三角形的三条边和其中一角，知三求一 3、当∠C＝90 时，则cosC＝0，∴c2＝a2＋b2，即余弦定理是勾股定理的推广，正余弦定理课件勾股定理是余弦定理的特例 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 即：a2=b2+

......

详见：

哪有高中的教材课件

;gradeid=courseid=typeid=1

高中数学第三册(选修)全部课件-人教版[全套][整理] 2006-4-25 9:46:51免费

：这是高中数学人教版教材第三册(选修)全部课件,供高二下学期或者高三上学期使用,希望大家喜欢.

高二数学各章节全部课件-人教版[全套][整理] 2006-4-25 9:46:26免费

高中数学第二册(上/下册)全部课件,适合于使用人教版教材的在高二全年使用.

高中数学苏教版必修5：正弦定理课件 2006-4-24 10:48:29免费

是靖江市高中数学青年教师优课比赛内容:高中数学苏教版必修5:正弦定理课件

新课标课标数学选修2-2合情推理与演绎推理的第三课时演绎推理 2006-3-22 9:51:03免费

这是高中数学新课标选修2-2的第二章推理和证明中合情推理与演绎推理的第三课时演绎推理的一个用powerpoint做的课件,是运用别人的某些资源整理而成的

高中数学必修一集合复习课课件 2006-3-11 10:18:23免费

本课件用powerpoint制作，知识点小结精练，例题也很典型，是一款质量教高的课件。

高中数学知识点总结-新课标 2006-3-8 11:05:41免费

高中数学知识点总结-新课标

06年高中数学（代数）教学课件－－人教版 2006-2-27 10:35:46免费

此课件组属整个高中数学（代数）教学、复习专用课件，并且成套，容量大，总共有72个课件。由本人精心制作挑选以及转载出来的，作品纯属佳品，上上佳作，供高中数学教师使用，能大大提高课堂上教学效率！

06年高中数学教学课件－－人教版 2006-2-27 10:30:16免费

此课件组属整个高中数学教学、复习专用课件，并且成套，容量大，总共由200个几何画板课件组成。由本人精心制作挑选以及转载出来的，作品纯属佳品，上上佳作，供高中数学教师使用，能大大提高课堂上教学效率！

高考数学常见题型汇总 2006-2-22 19:15:04免费

数学高分的奥秘在哪里？是基础知识？不是，否则有课本就可以拿满分了；是公式？也不是。公式记的再熟， 不会应用也是枉然。数学高分的奥秘很简单，在于题型。诚然，数学的题目是千变万化的，但万变不离其宗，鉴于高考考纲的束缚，始终只能在那些常见的题型里面转圈而已。也就是说，只要知道了那些常见题型的解法，就算你基础不是太好，也可以很容易的拿到高分。 这就是数学的奥秘。

高中数学题型汇总，是本人集自身数学成绩居高不下的经验，结合多年来专职家教所累积的经验，形成的一套化腐朽为神奇的学习方法。 就是基础不好的同学，看了之后，也很容易就可以得到高分。虽然这只是其中的一小部分，但光是这点， 就足够让你的数学成绩向前迈一大步了。

高中数学的常见题型，本人上学期高考前给我学生的必备文件。看完之后，就算你没有任何数学基础，也能够拿到一定的分数（只要你能够记住一点，就绝对可以在考试时拿到一个题目的分数）。 信不信由你。

高中数学课件、积件108个-人教版 2006-2-16 9:20:05免费

高中数学课件、积件108个是本人精心整理的好东西，全部为易修改的ppt或几何画板，

很有用。

高中数学--三角函数图象变换 -人教版 2006-2-7 10:06:31免费

本人上课课件及其备课思路，请各位老师多多指教！

高中数学 四所高中教师比赛课件 抛物线及其标准方程-人教版[整理] 2006-2-7 10:02:31免费

这是四所重点高中教师比赛课件，同行们可以看看，有些地方是可以借鉴的！

人教版[原创]点到直线的距离 2006-1-17 10:42:15免费

课题：点到直线的距离是高中数学的重要内容，要认真对待

人教版[原创]直线与圆锥曲线位置关系的课件 2006-1-17 10:30:54免费

课题：直线与圆锥曲线位置关系是高中数学的重要内容，要认真对待

高中数学---数形结合思想在解析几何中的应用[整理] 2005-12-31 9:52:09免费

从点p(m , 3)向圆

引切线，则切线长最小值为--------。

研究型学习：登高望远——数学中的测量在现实生活中的应用。求详细内容怎么写。。。

研究课题名称： 登高望远——数学中的测量在现实生活中的应用

设计者姓名 所在学校 民勤一中

所在年级 高一数学 研究学科 数学

联系电话 电子邮件

一、课题背景、意义及介绍

1、背景说明（怎么会想到本课题的）：

珠穆朗玛峰高度的复测引起大家对测绘的关注；生活中，有很多高度或者宽度都不容易直接测量的物体，比如楼房、树、水塔等的高度；河面、楼房等的宽度，直接测量相对比较麻烦，如果我们运用数学和物理知识，间接测量的话，所花的人力、物力等都相对小的多。

2、课题的意义（为什么要进行本课题的研究）：

通过本次实践活动让学生知道生活中测量的意义和重要性，了解测绘的基本知识。通过亲身参探究活动，提高学生发现问题、收集信息、分析处理信息、利用信息、与人沟通的能力，以及互相合作学习、利用现代科技多角度学习的能力，体验科学探究的过程与方法。通过亲身实践，较为全面地了解生活中常见的测量方法，通过与自然的密切接触，培养热爱自然的情怀，增强环保意识。通过实践，培养学生实事求是的科学态度。

3、课题介绍

本选题主要是让体会数学在生活中的应用，让学生体会抽象的数学可以运用的具体的生活中；激发学生学习数学的热情，培养数学思维能力。培养学生跨学科综合运用知识的能力。

二、研究性学习的教学目的和方法（可按新课程标准的三维目标（或布鲁姆目标分类法）进行研究性学习的教学目和方法的阐述）

三、参与者特征分析（重点分析学生有哪些共性、有哪些差异，尤其对开展研究性学习有影响的因素。）

1、学生是高二年级理科生；

2、学生已经一定的文字表达能力；

3、学生的具有必要的数学和物理基础知识；

4、学生对科学探究的过程和环节有了一定的了解；

5、学生对数学知识应用于解决生活中实际问题很好奇也很感兴趣；

6、学生思维活跃，善于和同学交流，乐于表达自己，渴望达到同学和教师的赞许；

7、学生对有过合作学习的初步经验，具备初步的协作能力。

四、研究的目标与内容（课题研究所要解决的主要问题是什么，通过哪些内容的研究来达成这一目标）

课题研究主要解决的问题：

生活中物体高度的各种测量方法。

通过以下内容的研究来达成这一目标：

1、复习正弦定理、余弦定理；

2、了解解三角形方法；

3、了解生活中物体高度和宽度测量的一般方法；

4、尝试利用正弦定理、余弦定理提出多种方法去测量生活中物体的高度和宽度；

5、了解珠穆朗玛峰高度的复测的技术及其意义；

学生可能的选题内容是：

1：测量水塔的高度；

2：测量楼房的高度和宽度；

3：测量河的宽度。

五、研究的预期成果及其表现形式（研究的最终成果以什么样的形式展现出来，是论文、实验报告、实物、网站、多媒体还是其他形式）

每个阶段举行一个小型报告会，报告每个学生在不同时期的活动体会；最后举行一个总结报告会；每个学生都会得到一份来自自己、同组组员、他组以及老师评价形成的综合评价。

六、资源准备

根据探究主题，教师提供的资源：

1、测绘仪。

2、皮尺、标杆。

3、学校图书馆、电脑室、多媒体教室。

4、评价量表（附后）。

学生准备的资源：

1、记录笔、纸

2、带程序计算功能的计算器

七、研究性学习的阶段设计

研究性学习的阶段 学生活动 教师活动 起止时间

第一阶段：动员和培训（初步认识研究性学习、理解研究性学习的研究方法）

1、 接触、讨论问题。

2 、了解本次活动的学习目的。

3 、学习了解本次综合实践活动的步骤、方法、要求。 1、介绍数学与生活的密切联系；

2、介绍研究性学习的意义。

3、介绍科学探究的一般方法和过程。

第二阶段 课题准备阶段 提出和选择课题 了解对于像旗杆、楼房、水塔等这些比较高的物体，除了可以直接测量它们的高度和宽度外，能否用其它的方法测来进行测量呢？结合到我们所学习过解三角形的相关知识，请同学们积极思考，看是否可以把那些书本知识应用到这里来。

经过师生共同讨论，以学生最急于了解或最感兴趣的方面，确定研究主题，最后选定“楼房的告诉和宽度”作为此次研究的课题。 1．介绍研究性学习的选题原则和方法。

2．组织学生讨论，与学生一起筛选课题。

成立课题组 1、学生根据自己的专长和喜好，根据合作小组组成原则形成小组。

2、各小组成立后，选定组长，学习讨论小组合作学习评价量规。

3、根据选题，进行小组分工，小组内分工可以为收集资料小队、实地考察小队、科学实验对等。 1、介绍合作小组的分组原则，在学生自愿成组的前提下，合理调配各组成员。

2、介绍合作学习的要求，呈示合作学习评价量规。

3、组织、指导学生的进行小组讨论、小组成员分工。

形成小组实施方案 各小组根据分工制定研究计划，分配研究时间，细分研究内容，预定成果等。 1、指导学生制订研究方案。

2、设计成果展示模版，为学生展示研究结果提供指引。

第三阶段：课题实施阶段 1.为测量楼房宽度，分下面几个步骤进行测量：

(1)在地面上任意选择一点，利用测绘仪测量在同一地点观察到的楼房两侧边的观测角。

(2)在同一水平面上换另一个地点重复步骤(1)的操作。

(3)用皮尺测量两次测量地点之间的直线距离。

2.为测量楼房高度，分下面几个步骤进行测量：

(1)在地面上任意选择一点，利用测绘仪测量在同一地点观察到的楼房房顶的观测角。

(2)在同一水平面上换另一个地点重复步骤(1)的操作。

(3)用皮尺测量两次测量地点之间的直线距离。

3.各小组成员之间协同合作，记录好所需数据。处理测量的数据，算出楼房的高度和宽度。

4.完成实验报告。.

5.收集珠穆朗玛峰高度的复测资料，谈自己的感受。

6.通过Email、QQ等交换看法。 1、鼓励学生动手参与实践。

2、加深学生对解三角形方法的理解，通过本活动的训练，掌握解决问题的方法和策略，提高解决问题的能力；

3、激活学生思维，鼓励大胆创新。

4、指导学生小组成员协同工作，培养学生的团队精神和合作交流能力；

5、指导学生学会使用测绘工具。

6、鼓励学生克服行动中的困难，培养吃苦耐劳精神；

7、鼓励学生综合运用多学科知识。

8、指导学生书写规范研究报告，培养表达能力。

八、总结与反思（实践后总结、反思整个研究性学习过程，提出改进意见）

1.各小组分组汇报自己的研究成果，把成果制作成PPT等进行汇报展示。

2.各成员自评（表一），由小组长收集，整理汇报。

3.组内互评（表二）。

4.组间互评（表三）。

5.老师评价（表四）。

6.各成员集成自评、组评、他评和教师评价，完成总评（表五）。

7.总结、反思。

8.改进意见。

初中数学，中考，函数，点圆，计算，面积，大家帮个忙！

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一

点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它

的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的

一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d＞r

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a／4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R／180

145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

（还有一些，大家帮补充吧）

实用工具:常用数学公式

公式分类 公式表达式

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b=-b≤a≤b

a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac0 注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

高一数学知识

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

基本初等内容

它有六种基本函数(初等基本表示)：

分别是 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

角 θ的所有三角函数

(见:函数图形曲线)

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

（斜边为r，对边为y，邻边为x。）

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 coversθ =1-sinθ

正弦（sin）:角α的对边比上斜边

余弦（cos）:角α的邻边比上斜边

正切（tan）:角α的对边比上邻边

余切（cot）:角α的邻边比上对边

正割（sec）:角α的斜边比上邻边

余割（csc）:角α的斜边比上对边

同角三角函数间的基本关系式：

•平方关系：

sin^2α＋cos^2α＝1

1＋tan^2α＝sec^2α

1＋cot^2α＝csc^2α

•积的关系：

sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα

tanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscα

secα=tanα×cscα

cscα=secα×cotα

•倒数关系：

tanα •cotα＝1

sinα •cscα＝1

cosα •secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

•[1]三角函数恒等变形公式

•两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ

cos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβ

sin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)

•三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sinγ

cos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tanγ•tanα)

•辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+arctan(B/A))，其中

sint=B/(A²+B²)^(1/2)

cost=A/(A²+B²)^(1/2)

tant=B/A

Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

•倍角公式：

sin(2α)=2sinα•cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]

•三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα•sin(60+α)sin(60-α)

cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα•cos(60+α)cos(60-α)

tan(3α)=tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)

•半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

•降幂公式

sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

•万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]

cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]

•积化和差公式：

sinα•cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα•sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα•cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα•sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

•和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

•推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos²α

1-cos2α=2sin²α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²

•其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

证明：

左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）

=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

等式得证

sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

证明:

左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边

等式得证

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

三角函数的诱导公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

补充：6×9＝5种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）

f(β)→

f(β)＝↘

β↓

sinβ

cosβ

tanβ

cotβ

secβ

cscβ

360k+α

sinα

cosα

tanα

cotα

secα

cscα

90°-α

cosα

sinα

cotα

tanα

cscα

secα

90°+α

cosα

-sinα

-cotα

-tanα

-cscα

secα

180°-α

sinα

-cosα

-tanα

-cotα

-secα

cscα

180°+α

-sinα

-cosα

tanα

cotα

-secα

-cscα

270°-α

-cosα

-sinα

cotα

tanα

-cscα

-secα

270°+α

-cosα

sinα

-cotα

-tanα

cscα

-secα

360°-α

-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

－α

-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

定名法则

90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”

定号法则

将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”

比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为正。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~

三角形与三角函数

1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径)

2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC

3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA

4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tg[(A-B)/2]/tg[(A+B)/2]=tg[(A-B)/2]/ctg(C/2)

5、三角形中的恒等式：

对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证明:

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

部分高等内容

•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

•三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

:

角度a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180°

1.sina 0 1/2 1 3/2 1 3/2 0

2.cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 -1/2 -1

3.tana 0 1/3 1 3 / -3 0

4.cota / 3 1 1/3 0 -1/3 /

三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.

泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

实用幂级数：

ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|1)

sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞x∞)

cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞x∞)

arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|1)

arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)

sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞x∞)

cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞x∞)

arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|1)

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

--------------------------------------------------------------------------------

傅立叶级数(三角级数)

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

三角函数的数值符号

正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负

余弦 第一，四象限为正 第二，三象限为负

正切 第一，三象限为正 第二，四象限为负

三角函数定义域和值域

sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕

tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R

cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R

初等三角函数导数

y=sinx---y'=cosx

y=cosx---y'=-sinx

y=tanx---y'=1/(cosx)² =(secx)²

y=cotx---y'=-1/(sinx)² =-(cscx)²

y=secx---y'=secxtanx

y=cscx---y'=-cscxcotx

y=arcsinx---y'=1/√1-x²

y=arccosx---y'=-1/√1-x²

y=arctanx---y'=1/(1+x²)

y=arccotx---y'=-1/(1+x²)

反三角函数

三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2yπ/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0yπ。

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).

反三角函数主要是三个：

y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得

其他几个用类似方法可得。